题目内容

【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E、F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②当且仅当x= 时,四边形MENF的面积最小;
③四边形MENF周长l=f(x),x∈0,1]是单调函数;
④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h(x)为常函数;
以上命题中真命题的序号为

【答案】①②④
【解析】解:①连结BD,B′D′,则由正方体的性质可知,EF⊥平面BDD′B′,所以平面MENF⊥平面BDD′B′,所以①正确.
②连结MN,因为EF⊥平面BDD′B′,所以EF⊥MN,四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可,此时当M为棱的中点时,即x= 时,此时MN长度最小,对应四边形MENF的面积最小.所以②正确.
③因为EF⊥MN,所以四边形MENF是菱形.当x∈[0, ]时,EM的长度由大变小.当x∈[ ,1]时,EM的长度由小变大.所以函数L=f(x)不单调.所以③错误.
④连结C′E,C′M,C′N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以C′EF为底,以M,N分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形C′EF的面积是个常数.M,N到平面C'EF的距离是个常数,所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h(x)为常函数,所以④正确.
故答案为:①②④.

①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′.②四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可.③判断周长的变化情况.④求出四棱锥的体积,进行判断.

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