题目内容

【题目】已知椭圆 ()的焦距为4,左、右焦点分别为,且 与抛物线 的交点所在的直线经过.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过 的直线 交于两点,与抛物线无公共点,求的面积的取值范围.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .

【解析】试题分析:(1)先根据焦距确定焦点坐标,再根据对称性得与抛物线 的交点所在的直线为,即得一个交点为,代入椭圆方程,结合可解得 (2)先设直线 ,由直线与抛物线无公共点,利用判别式小于零得.由弦长公式可求底边AB长,利用点到直线距离可得高,代入面积公式可得,根据对勾函数确定其值域.

试题解析:(Ⅰ)依题意得,则 .

所以椭圆与抛物线的一个交点为

于是 ,从而.

,解得

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)依题意,直线的斜率不为0,设直线

,消去整理得,由.

,消去整理得

,则

所以

到直线距离

,则

所以三边形的面积的取值范围为.

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