Question

【题目】已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x1＞x2＞0，求证： ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx，

∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，

∴ ．

当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；

当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0

（2）解：∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，

∴ 在x＞0上恒成立，

进一步转化为 ，

设h（x）= ，则 ，

当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，

∴h（x） ．

要使f（x）≤ax恒成立，必须a ．

另一方面，当x＞0时，x+ ，

要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，

∴满足条件的a的取值范围是[ ，2]

（3）解：当x1＞x2＞0时， ＞ 等价于 ．

令t= ，设u（t）=lnt﹣ ，t＞1

则 ＞0，

∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，

∴u（t）＞u（1）=0，

∴ ＞

【解析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为 在x＞0上恒成立，进一步转化为 ，然后构造函数h（x）= ，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知 ，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于 ．令t= ，设u（t）=lnt﹣ ，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明 ＞ ．