Question

已知函数

（1）当时，求的最小值；

（2）在区间（1,2）内任取两个实数p，q，且p≠q,若不等式>1恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求证：（其中）。

 

Answer 1

（1）；（2）（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）求导，令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间，根据函数的单调性求其最小值。（2）因为，表示点与点连成的斜率，可将问题转化为直线的斜率问题。根据导数的几何意义可求其斜率，将恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时还是用求导再求其单调性的方法求其最值。（3）由（2）可得，则有。用放缩法可证此不等式。

试题解析：【解析】
（1）

得

上递减，上递增。

。 4分

（2），

表示点与点连成的斜率，又，，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，

即内恒成立. 6分

所以，当恒成立.

设

若

当上单调递减；

当上单调递增. 9分

又

故 10分

（3）由（2）得，

11分

所以

又

而

成立. 14分

考点：用导数研究函数的性质。