Question

10．已知关于x的方程x²+2ax+b=0有两个实根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求a+b的取值范围；
（2）当a+b最小时，不等式x²+2amx+b≥mx²+m在x＞-3时恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数，建立不等式组，可得平面区域，即可求a+b的取值范围；
（2）不等式x²+2amx+b≥mx²+m在x＞-3时恒成立，等价于不等式（m-1）x²+mx+m+2≥0在x＞-3时恒成立．构造函数，分类讨论，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=x²+2ax+b，
∵关于x的方程x²+2ax+b=0有两个实根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-2a+b≥0}\\{f（0）=b≤0}\\{f（1）=2a+b+1≤0}\\{f（2）=4a+b+4≥0}\end{array}\right.$，
不等式表示的区域，如图所示，
令z=a+b，则直线z=a+b过A（-$\frac{1}{2}$，0）时，z的最大值为$\frac{1}{2}$；直线z=a+b过C（-$\frac{1}{2}$，-2）时，z的最大值为-$\frac{5}{2}$．
∴a+b的取值范围是[-$\frac{5}{2}$．-$\frac{1}{2}$]；
（2）由（1）知，a=-$\frac{1}{2}$，b=-2时，z=a+b最小，
∴不等式x²+2amx+b≥mx²+m在x＞-3时恒成立，等价于不等式（m-1）x²+mx+m+2≥0在x＞-3时恒成立．
令g（x）=（m-1）x²+mx+m+2，则
m-1=0，即m=1时，f（x）=x+3≥0在x＞-3上恒成立，符合题意；
m-1≠0，即m≠1时，f（x）的对称轴x=-$\frac{m}{2（m-1）}$，则$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{-\frac{m}{2（m-1）}≥-3}\\{△={m}^{2}-4（m-1）（m+2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{-\frac{m}{2（m-2）}＜-3}\\{f（-3）=7m-7≥0}\end{array}\right.$，
∴m≥$\frac{6}{5}$或1＜m＜$\frac{6}{5}$，
∴m≥1．

点评 本题考查方程根的讨论，考查线性规划知识，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．