题目内容
在平面直角坐标系xOy中有两定点F1(0，| 3 |
| 3 |
| MF1 |
| MF2 |
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t交曲线C于A、B两点，交直线l1：y=k1x于点D，若k•k1=-4，证明：D为AB的中点．
分析：（1）设出动点M的坐标，利用由椭圆定义可知点M的轨迹为椭圆方程，利用焦点和长轴长求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）联立直线与椭圆的方程，消去y，利用韦达定理分别表示出中点坐标的表达式，联立L和直线l1求得D点的坐标，推断出D为AB的中点．
（2）联立直线与椭圆的方程，消去y，利用韦达定理分别表示出中点坐标的表达式，联立L和直线l1求得D点的坐标，推断出D为AB的中点．
解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y）∵|
|+|
|=4＞2
由椭圆定义可知，点M的轨迹C是以(0，
)，(0，-
)）为焦点，
长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b=
=1
故曲线C的方程为x2+
=1．
（Ⅱ）依题意，联立方程组
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0
∴
=
，
=k•
+t=
即AB的中点坐标为(
，
)
解方程组
得直线l与l1的交点D的坐标为(
，
)
由k•k1=-4得k1=-
，代入D点坐标即为(
，
)
综上可知，D为AB的中点．
| MF1 |
| MF2 |
| 3 |
由椭圆定义可知，点M的轨迹C是以(0，
| 3 |
| 3 |
长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b=
22-(
|
故曲线C的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）依题意，联立方程组
|
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0
∴
| x1+x2 |
| 2 |
| -kt |
| 4+k2 |
| y1+y2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 4t |
| 4+k2 |
即AB的中点坐标为(
| -kt |
| 4+k2 |
| 4t |
| 4+k2 |
解方程组
|
得直线l与l1的交点D的坐标为(
| t |
| k1-k |
| k1t |
| k1-k |
由k•k1=-4得k1=-
| 4 |
| k |
| -kt |
| 4+k2 |
| 4t |
| 4+k2 |
综上可知，D为AB的中点．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理能力和基本运算能力．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是