Question

12．过点P（-$\sqrt{3}$，-1）的直线l与圆x²+y²=1有公共点，则l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得$\frac{|0+0+\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．

解答 解：由题意可得点P（-$\sqrt{3}$，-1）在圆x²+y²=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，
则直线方程为 y+1=k（x+$\sqrt{3}$），即 kx-y+$\sqrt{3}$k-1=0．
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得$\frac{|0+0+\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
即 3k²-2$\sqrt{3}$k+1≤k²+1，解得0≤k≤$\sqrt{3}$，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{3}$]，
故答案为：[0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．