题目内容
8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（0，$\sqrt{3}$），离心率为$\frac{1}{2}$，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（I
Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）若直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+m与椭圆交于A，B两点，与以$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）为直径的圆交于F1，F2两点，且满足D，求直线DF1⊥F1F2的方程．
分析 （Ⅰ）根据椭圆得定义，离心率得定义，构造方程组，解得即可；
（Ⅱ）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，得到圆心到直线的l的距离为d，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理和弦长公式求出|AB|的长，即可求出m的值，问题得以解决．
解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆得方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
（Ⅱ）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，
∴圆心到直线的l的距离为d=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$，
由d＜1，即$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$＜1，可得|m|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴|CD|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{4{m}^{2}}{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$$\sqrt{5-4{m}^{2}}$，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得x2-mx+m2-3=0，
∴x1+x2=m，x1x2=m2-3，
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$\sqrt{{m}^{2}-4（{m}^{2}-3）}$$\frac{\sqrt{15}}{2}\sqrt{4-{m}^{2}}$
∵$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{\sqrt{5-4{m}^{2}}}$=1，
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且满足|m|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查了椭圆得标准方程，弦长公式，点到直线距离公式，考查了学生得转化能力，运算能力，属于中档题．
| A． | d（A，C）+d（B，C）=d（A，B） | B． | d（A，C）+d（B，C）＞d（A，B） | C． | d（A-C，B-C）=d（A，B） | D． | d（A-C，B-C）＞d（A，B） |
如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，