Question

17．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．

Answer 1

分析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，易得点的坐标，进而可得$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，
（Ⅰ）由数量积为0可得CD⊥AD，CD⊥AP，可得CD⊥平面PAD，进而可得平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）由数量积为0可求平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$-\frac{1}{2}$，1）．而平面ABC的法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），求向量夹角的余弦值可得；
（Ⅲ） 点B到平面AEC的距离为h=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$，代值计算即可．

解答 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，4，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），
（Ⅰ）∵$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AD}$=0，∴CD⊥AD，又∵$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AP}$=0，∴CD⊥AP，
∵AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，由CD?平面PDC可得平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{2y+1=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（1，$-\frac{1}{2}$，1）．
而平面ABC的法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}×2}$=$\frac{2}{3}$
∴平面EAC与平面ACD夹角的余弦值是$\frac{2}{3}$；
（Ⅲ） 设点B到平面AEC的距离为h，
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{n}$=（1，$-\frac{1}{2}$，1），
则h=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴B点到平面EAC的距离是$\frac{4}{3}$

点评 本题考查空间向量法解决立体几何问题，建系并求对相应向量的坐标是解决问题的关键，属难题．