题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
和
均为等边三角形,且平面
平面
,点
为
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先证四边形为矩形
,
,再证得
,
,
四边形
是平行四边形
面
;(2)先建立坐标系求得面
、面
的法向量分别为
,
,
所求的余弦值:
.
试题解析:(1)过点作
交
于点
,连接
;
取的中点
,连接
∵是等边
底边
的中线,
∴.
∵,
∴四边形为矩形,
∴,
.
∵为
底边
的中位线
∴,
,
∴,
,
四边形是平行四边形,
∴,
∵面
,
∴面
.
(2)以点为坐标原点,
为
轴正方向,
为单位长度建立空间直角坐标系
如图所示,各个点的坐标为,
,
,
因此向量,
,
.
设面、面
的法向量分别为
,
,
则,不妨令
,解得
,同理得
设平面与平面
所成的锐二面角为
,
则
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