题目内容
【题目】已知.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求
的值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)的定义域为
,求导可得
.则考查函数的单调性只需考查二次函数
的性质可得:
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(2)原问题等价于,
恒成立. 构造函数,令
,则
,
,即
在
时取得最大值.
.由
解得
.经检验可得a=1符合题意.故
.
试题解析:
(1)的定义域为
,
.
∵.
令,则
(a)若,即当
时,对任意
,
恒成立, 即当
时,
恒成立(仅在孤立点处等号成立).
∴在
上单调递增.
(b)若,即当
或
时,
的对称轴为
.
①当时,
,且
.
如图,任意,
恒成立, 即任意
时,
恒成立,
∴在
上单调递增.
②当时,
,且
.
如图,记的两根为
∴当时,
;
当时,
.
∴当时,
,
当时,
.
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(2)恒成立等价于
,
恒成立.
令,则
恒成立等价于
,
.
要满足式,即
在
时取得最大值.
∵.
由解得
.
当时,
,
∴当时,
;当
时,
.
∴当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,从而
,符合题意.
所以, .
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