Question

2．求证：函数y=x+$\frac{1}{x}$在区间（0，1]上是减函数，在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 先求出f（x）=x+$\frac{1}{x}$的导数，判断导数的值在两个区间上的符号，若符号为正，此函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上为减函数．

解答 证明：f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$
当x∈（0，1]时，$\frac{1}{{x}^{2}}$≥1，故1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，故函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是减函数．
当x∈[1，+∞）时，$\frac{1}{{x}^{2}}$≤1，故1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，故函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是增函数．
由上证，f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，一般利用定义法或导数法是解决本题的关键．