Question

（满分12分）已知点P_n(a_n，b_n)满足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝ (n∈N^*)且点P₁的坐标为(1，－1)．(1)求过点P₁，P₂的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在(1)中的直线l上．

Answer 1

(1)直线l的方程为2x＋y＝1. (2)见解析。

试题分析：(1)由P₁的坐标为(1，－1)知a₁＝1，b₁＝－1.
∴b₂＝＝.     a₂＝a₁·b₂＝. 
∴点P₂的坐标为(，)
∴直线l的方程为2x＋y＝1. …………….3分
(2)①当n＝1时，2a₁＋b₁＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分
②假设n＝k(k∈N^*，k≥1)时，2a_k＋b_k＝1成立，…………….6分
则2a_k＋1＋b_k＋1＝2a_k·b_k＋1＋b_k＋1＝ (2a_k＋1)…………….8分
＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，命题也成立．                ……………. 10分
由①②知，对n∈N^*，都有2a_n＋b_n＝1，
即点P_n在直线l上．                      …………….12分
点评：本题将数列问题、直线方程、数学归纳法有机结合在一起，不偏不怪，是一道不错的题目。