题目内容

(选修4-5:不等式选讲)设x、y均为正实数,且
1
2+x
+
1
2+y
=
1
3
,求xy的最小值.
分析:对已知式子两边同乘以3(2+x)(2+y)可得xy=x+y+8,把
xy
当整体,由基本不等式可得关于它的不等式解之可得答案.
解答:解:由
1
2+x
+
1
2+y
=
1
3
两边同乘以3(2+x)(2+y)可得
3(2+y+2+x)=(2+x)(2+y),即xy=x+y+8,
由基本不等式可得xy≥2
xy
+8,即(
xy
)2-2
xy
-8≥0

解得
xy
≤-2(舍去),或
xy
≥4,
平方可得xy≥16,当且仅当x=y=4时取等号,
故xy的最小值为16
点评:本题考查基本不等式的应用,通分构造出基本不等式的形式是解决问题的关键,属基础题.
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