题目内容
【题目】证明下列不等式:
(1)设a,b,c∈R* , 且满足条件a+b+c=1,证明: ≥9
(2)已知a≥0,证明: <
.
【答案】
(1)证明:∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
∴ =(a+b+c)(
)=3+(
+
)+(
+
)+(
)≥3+2+2+2=9(当且仅当a=b=c时取“=”)(证毕).
(2)证明:要证明 <
,
只要证明( )2<(
)2,
只要证明a(a+3)<(a+2)(a+1),
只要证明0<2,显然成立,
故原不等式成立
【解析】(1)依题意,可得 =(a+b+c)(
)=3+(
+
)+(
+
)+(
),利用基本不等式即可证得结论;(2)利用分析法证明即可.
【考点精析】关于本题考查的不等式的证明,需要了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等才能得出正确答案.
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