Question

【题目】设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点 ．
（1）求k，a的值；
（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点 ．

则a﹣1=1，即a=2，此时f（x）=xk，

即 =2，即 =2，解得k=4

（2）解：∵a=2，k=4，

∴f（x）=x4，

则h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b=﹣x4+2bx2+1﹣b

=﹣（x2﹣b）2+1﹣b+b2，

设t=x2，则0≤t≤4，

则函数等价为g（t）=﹣（t﹣b）2+1﹣b+b2，

若b≤0，则函数g（t）在[0，4]上单调递减，最大值为g（0）=1﹣b=3，即b=﹣2，满足条件．

若0＜b≤4，此时当t=b时，最大值为g（b）=1﹣b+b2=3，

即b2﹣b﹣2=0，解得b=2或b=﹣1（舍）．

若b＞4，则函数g（t）在[0，4]上单调递增，最大值为g（4）=3b﹣15=3，即3b=18，b=6，满足条件

综上b=﹣2或b=2或b=6

【解析】（1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k，a的值；（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b在[0，2]上的最大值为3，利用换元法转化一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求实数b的值．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．