Question

【题目】已知函数f（x）=x+ +lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；
（3）讨论函数g（x）=f′（x）﹣x的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）=x+ +lnx，（x＞0），

f′（x）=1﹣ + ，f′（1）=1，f（1）=2，

故切线方程是：y﹣2=x﹣1，

整理得：x﹣y+1=0

（2）解：f′（x）=1﹣ + = ，

若f（x）在区间（1，4）内单调递增，

则x2+x﹣a≥0在（1，4）恒成立，

即a≤x2+x在（1，4）恒成立，

而y=x2+x的最小值是2，

故a≤2

（3）解：g（x）=f′（x）﹣x=1﹣ + ﹣x= ，（x＞0），

令h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0），

讨论函数g（x）=f′（x）﹣x的零点个数，

即讨论h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0）的零点个数，

即讨论a=﹣x3+x2+x的交点个数，

令m（x）=﹣x3+x2+x，（x＞0），

m′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），

令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1，

∴m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

∴m（x）max=m（1）=1，x→0时，m（x）→0，

x→+∞时，m（x）→﹣∞，

如图示：

，

结合图象：a＞1时，g（x）无零点，

a=1或a≤0时，g（x）1个零点，

0＜a＜1时，g（x）2个零点

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a≤x2+x在（1，4）恒成立；（3）问题转化为讨论a=﹣x3+x2+x的交点个数，令m（x）=﹣x3+x2+x，（x＞0），根据函数的单调性恒成m（x）的大致图象，结合图象，通过讨论a的范围求出函数的零点即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．