Question

10．设函数g（x）=3^x，h（x）=9^x
（1）解方程：h（x）-24g（x）-h（2）=0；
（2）令$p（x）=\frac{h（x）}{h（x）+3}$，求$p（\frac{1}{2015}）+p（\frac{2}{2015}）+p（\frac{3}{2015}）+…+p（\frac{2014}{2015}）$的值；
（3）若$f（x）=\frac{g（x+1）+a}{g（x）+b}$是实数集R上的奇函数，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）整理可得9^x-24×3^x-81=0，解二次方程得3^x=27，进而求出x值；
（2）求出$p（x）=\frac{h（x）}{h（x）+3}$=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$，发现题中所求自变量值和等于1，探索p（x）+p（1-x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$+$\frac{{9}^{1-x}}{{9}^{1-x}+3}$=1，进而得出$p（\frac{1}{2015}）+p（\frac{2}{2015}）+p（\frac{3}{2015}）+…+p（\frac{2014}{2015}）$=1007；
（3）利用函数的单调性，奇偶性得出3^2x-1＞k•3^x-2对任意的x∈R都成立，转换为恒成立问题进行求解．

解答 解：（1）h（x）-24g（x）-h（2）=0，
∴9^x-24×3^x-81=0，
∴3^x=27，x=3；
（2）令$p（x）=\frac{h（x）}{h（x）+3}$=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$，
∴p（1-x）=$\frac{{9}^{1-x}}{{9}^{1-x}+3}$，
∵p（x）+p（1-x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$+$\frac{{9}^{1-x}}{{9}^{1-x}+3}$=1，
∴$p（\frac{1}{2015}）+p（\frac{2}{2015}）+p（\frac{3}{2015}）+…+p（\frac{2014}{2015}）$=1007；
（3）因为$f（x）=\frac{g（x+1）+a}{g（x）+b}=\frac{{{3^{x+1}}+a}}{{{3^x}+b}}$是实数集R上的奇函数，所以$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}}\right.$，
解得a=-3，b=1，经检验符合题意，从而$f（x）=3（1-\frac{2}{{{3^x}+1}}）$，
由指数函数性质知：f（x）在实数集R上单调递增．
由f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0得f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），
又因为f（x）是实数集R上的奇函数，所以f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2）
又因为f（x）在实数集R上单调递增，所以h（x）-1＞k•g（x）-2，
即3^2x-1＞k•3^x-2对任意的x∈R都成立，
即$k＜{3^x}+\frac{1}{3^x}$对任意的x∈R都成立，
令$w（x）=t+\frac{1}{t}$≥2，
∴k＜2．

点评 考查了利用换元法解不等式，利用条件，找出题中的等量关系，恒成立问题．