Question

（本小题满分16分）

设数列的通项是关于x的不等式的解集中整数的个数．

（Ⅰ）求，并且证明是等差数列；

（Ⅱ）设m、k、p∈N*，m+p=2k，为的前n项和．求证：＋≥；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由得，其中整数有2n-1个，故，

又，所以数列是等差数列…………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由 w≥=0，

即≥．…………………（12分）

（Ⅲ）结论成立，证明如下：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，

则，

∵

，

把代入上式化简得

=≥0，∴ S_m+S_p≥2S_k ．

又=

≤，

∴ ≥．故原不等式得证．…………（16分）