题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
为菱形,
,
,E,F分别为
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)点G是线段上一动点,若
与平面
所成最大角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取的中点H,连结
,证明四边形
为平行四边形得到证明.
(2)连结,证明
为
与平面
所成角的平面角得到
,以A为原点,如图建立空间直角坐标系,平面
的一个法向量为
,平面
的法向量
,计算夹角得到答案.
(1)取的中点H,连结
,
∵E,F分别为的中点,∴
,
,
由题知,
,∴
,
,
∴四边形为平行四边形,∴
,
∵平面
,且
平面
,∴
平面
.
(2)连结,∵四边形
为菱形,
,
∴是等边三角形,E为
中点,
∴,且
,
∵平面
,
平面
,∴
,
,
∴平面
,
∵平面
,∴
,
∴为
与平面
所成角的平面角,
在中,∵
,
∴当最短时,
最大,
,
∵,∴
,
在中,
,
,∴
,
以A为原点,如图建立空间直角坐标系,
则,
则,
∵,∴
平面
,
∴平面的一个法向量为
,
平面的法向量
,
则,∴
,取
,得
,
设二面角的平面角为
,
则,
∴二面角的余弦值为
.
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