题目内容
21.(本小题满分14分)
定义数列{an}如下:a1=2,an+1=an2-an+1,n∈N*.证明:
(1)对于n∈N* 恒有an+1>an 成立;
(2)当n∈N*时,有an+1=anan-1…a2a1+1成立;
(3)
解析:
证(1)∵ ∴an+1-an=(an-1)2≥0
假设存在某个ak=1,则ak-1=1 a1=1 这与a1=2矛盾 ∴an≠1 (n∈N+)
∴an+1-an=(an-1)2>0即an+1-an>0 ∴an+1>an
(2)ak+1=-ak+1,k∈N+且a1=2 ∴当n∈N+时,ak+1-1=ak( ak-1)
则an+1-1=an( an-1)=an· an-1( an-1??-1)
=…=an· an-1·an-2… a2 ( a1??-1)
=an· an-1·an-2… a1
∴当n∈N+时有:an+1=an an-1…a1??+1
(3)由ak+1=-ak+1及(1)(2)可得:an+1>an>a1=2且ak+1-1=ak( ak-1)>0 (k∈N+)
∴
∴2007k=1=+2007k=2
=
=
= <1
而<
∴≥ 故<2007k=1<1
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