题目内容
过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ,P、Q为切点.
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1和k2,求证:k1•k2为定值,并求出定值;
(2)求证:直线PQ恒过定点,并求出定点坐标;
(3)当
最小时,求
•
的值.
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1和k2,求证:k1•k2为定值,并求出定值;
(2)求证:直线PQ恒过定点,并求出定点坐标;
(3)当
S△APO |
PQ |
AQ |
AP |
(1)设过A(a,0)与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k,
则该切线的方程为:y=k(x-a)
由
得x2-kx+(ka+1)=0∴△=k2-4(ka+1)=k2-4ak-4=0
则k1,k2都是方程k2-4ak-4=0的解,故k1k2=-4
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由于y'=2x,故切线AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1)
则-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x12=2x1a-2(y1-1)∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2,则直线PQ过定点(0,2)
(3)要使
最小,就是使得A到直线PQ的距离最小,而A到直线PQ的距离 d=
=
(
)=
(
+
)≥
当且仅当
=
即 a2=
时取等号设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由
得x2-2ax-1=0,则x1+x2=2a,x1x2=-1,
•
=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(x1-a)(x2-a)+(2ax1+2)(2ax2+2)
=(1+4a2)x1x2+3a(x1+x2)+a2+4=-(1+4a2)+3a•2a+a2+4=3a2+3=
则该切线的方程为:y=k(x-a)
由
|
则k1,k2都是方程k2-4ak-4=0的解,故k1k2=-4
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由于y'=2x,故切线AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1)
则-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x12=2x1a-2(y1-1)∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2,则直线PQ过定点(0,2)
(3)要使
S△APQ | ||
|
|
2a2+2 | ||
|
1 |
2 |
4a2+1+3 | ||
|
1 |
2 |
4a2+1 |
3 | ||
|
3 |
当且仅当
4a2+1 |
3 | ||
|
1 |
2 |
由
|
AQ |
AP |
=(1+4a2)x1x2+3a(x1+x2)+a2+4=-(1+4a2)+3a•2a+a2+4=3a2+3=
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