题目内容

过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ,P、Q为切点.
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1和k2,求证:k1•k2为定值,并求出定值;
(2)求证:直线PQ恒过定点,并求出定点坐标;
(3)当
S△APO
PQ
最小时,求
AQ
AP
的值.
(1)设过A(a,0)与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k,
则该切线的方程为:y=k(x-a)
y=k(x-a)
y=x2+1
得x2-kx+(ka+1)=0∴△=k2-4(ka+1)=k2-4ak-4=0
则k1,k2都是方程k2-4ak-4=0的解,故k1k2=-4
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2
由于y'=2x,故切线AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1
则-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x12=2x1a-2(y1-1)∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2,则直线PQ过定点(0,2)
(3)要使
S△APQ
|
PQ
|
最小,就是使得A到直线PQ的距离最小,而A到直线PQ的距离 d=
2a2+2
4a2+1
=
1
2
(
4a2+1+3
4a2+1
)=
1
2
(
4a2+1
+
3
4a2+1
)≥
3

当且仅当
4a2+1
=
3
4a2+1
a2=
1
2
时取等号设P(x1,y1),Q(x2,y2
y=2xa+2
y=x1+1
得x2-2ax-1=0,则x1+x2=2a,x1x2=-1,
AQ
AP
=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(x1-a)(x2-a)+(2ax1+2)(2ax2+2)
=(1+4a2)x1x2+3a(x1+x2)+a2+4=-(1+4a2)+3a•2a+a2+4=3a2+3=
9
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