题目内容
【题目】已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为
的等腰直角三角形.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线
与椭圆交于点A、B，线段
的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为
的重心，试问：的面积S是否为定值，若是，求出这个值；若不是，求S的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
的面积
为定值
.
【解析】
（1）依题意可得：
，解得
，可得椭圆
的方程.
（2）若直线
的斜率不存在，由已知可得
，
，可求得
的面积S；若直线的斜率存在，设直线的方程为
，设
，
，直线与椭圆的方程联立可得
，则
，
，
，由点
为的重心，设
，求得点P的坐标，代入椭圆的方程中得到m与k的关系
，再运用三角形的面积公式求得的面积，得出结论.
（1）依题意得：，解得
，所以椭圆的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，因为点O为的重心，所以，，
所以的面积
.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，
即
，联立化简得，
则，，
由题意点为的重心，设，则
，
，
所以
，
，代入椭圆，
得
，整理得，
设坐标原点到直线的距离为
，则的面积
.
综上可得的面积为定值.
【题目】某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司
年至
年的年利润
关于年份代号
的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.
年份 |
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年份代号 |
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年利润 |
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（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司
年（年份代号记为
）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为
级利润年，否则称为
级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取
年，求恰有
年为级利润年的概率.
参考公式：
，
.
【题目】某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 | 非优质花苗 | 合计 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合计 |
附：下面的临界值表仅供参考．
| 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 2．072 | 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
（参考公式：
，其中
．）
【题目】某校为确定数学成绩与玩手机之间的关系，从全校随机抽样调查了40名同学，其中40%的人玩手机．这40位同学的数学分数（百分制）的茎叶图如图①所示．数学成绩不低于70分为良好，低于70分为一般．
（1）根据以上资料完成下面的
列联表，并判断有多大把握认为“数学成绩良好与不玩手机有关系”．
数学成绩良好 | 数学成绩一般 | 总计 | |
不玩手机 | |||
玩手机 | |||
总计 | 40 |
（2）现将40名同学的数学成绩分为如下5组：
，其频率分布直方图如图②所示．计算这40名同学数学成绩的平均数，由茎叶图得到的真实值记为
，由频率分布直方图得到的估计值记为
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），求与的误差值．
（3）从这40名同学数学成绩高于90分的7人中随机选取2人，求至少有一人玩手机的概率．
附：
，
这40名同学的数学成绩总和为2998分．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
