题目内容

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①f(x)在D内单调递增或单调递减;
②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=x2是不是闭函数,若是,请找出区间[a,b],若不是,请另增加一个条件,使f(x)是闭函数.
(3)若函数y=k+
x+2
是闭函数,且在定义域内是增函数,求实数k的取值范围.
分析:(1)利用函数g(x)=-x3在R上为单调减函数的特点,由g(a)=b,g(b)=a列方程即可解得a,b
(2)由于函数f(x)=x2在R上不单调,故不是闭函数,但在单调区间[0,+∞)上可能为闭函数,利用与(1)相同的方法即可找到满足条件的区间
(3)函数y=k+
x+2
在[-2,+∞)单调递增,若存在区间[a,b]⊆[-2,+∞),使得在区间[a,b]上值域为[a,b],则得到关于a,b的方程组,此方程组有[-2,+∞)上的解即可,转化为二次函数根的分布问题列不等式即可得k的取值范围
解答:解:(1)由题意,∵y=-x3在[a,b]上递减,要使g(x)在[a,b]上的值域为[a,b]
则需
b=-a3
a=-b3
b>a
解得
a=-1
b=1

∴所求的区间为[-1,1]
(2)∵函数f(x)=x2的定义域为R,但在[0,+∞)是增函数,在(-∞,0]上是减函数,∴f(x)在R上不满足条件①,∴f(x)不是闭函数.
若D=[0,+∞),则f(x)是D上的增函数,满足条件①,设满足条件②的区间为[a,b],
0≤a<b
a2=a
b2=b
a=0
b=1
∴存在区间[a,b]=[0,1]使f(x)满足条件②
∴f(x)=x2(x∈[0,+∞))是闭函数,增加的条件是:D=[0,+∞).
(3)∵函数y=k+
x+2
在[-2,+∞)单调递增,若y=k+
x+2
是闭函数,
则存在区间[a,b]⊆[-2,+∞),使得在区间[a,b]上值域为[a,b],
a=k+
a+2
b=k+
b+2

∴a,b为方程x=k+
x+2
的两个实数根,
即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实根.
令h(x)=x2-(2k+1)x+k2-2
△>0
f(-2)≥0
f(k)≥0
2k+1
2
>-2
,解得-
9
4
<k≤-2

∴k的取值范围为(-
9
4
,-2]
点评:本题考查了新定义型函数的理解和运用能力,函数单调性的应用,转化化归的思想方法
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