Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；

（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）求出直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．（2）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由2sin（2），由此能求出△MON面积的最大值．

（1）∵直线l的极坐标方程为，

∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，

曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，

可得r2，

∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），

∴曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，

所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，

即．

（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），

4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2

＝sin2θ2sin（2），

当时，，故

所以△MON面积的最大值为2．