Question

【题目】已知：椭圆的焦点在轴上，左焦点与短轴两顶点围成面积为的等腰直角三角形，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在定点，理由见解析.

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，根据题意得出，可求出、、的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）求出点、的坐标，得出直线的斜率，结合可求出直线的斜率，进而得出直线的方程，并将直线的方程代入椭圆的方程，求出点的坐标，由此可计算出直线的方程；

（3）由对称性知，定点在轴上，并设点的坐标为，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由直线、的斜率互为相反数，结合韦达定理求出的值，即可得出定点的坐标.

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，

由于左焦点与短轴两顶点围成面积为的等腰直角三角形，则为短轴长的一半，

则，且有，得，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题意、，则直线的斜率为.

，直线的斜率为，

则直线的方程为.

代入椭圆的标准方程，得，解得或.

代入，得（舍）或，.

则直线的斜率为，

因此，直线的方程为，即；

（3）由对称性知，定点在轴上，并设点的坐标为，

设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与椭圆的方程联立，得.

由韦达定理得，.

直线的斜率为，同理直线的斜率为，

，，

即，即，

解得，因此，直线过定点.