Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数的图象与轴交于两点， ，点在函数的图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）对函数求导，利用导数与函数单调性的关系，对进行分类讨论可得结果；（2）由函数图象交轴于两点，两点横坐标满足方程．又根据直角三角斜边的中线性质可得三者间关系，最后利用将方程转化成只含有两个变量，可求得两变量关系，进一步求得的值．试题解析：

（Ⅰ）．

①当时，则，则函数在是单调增函数．

②当时，令，则，

若， ，所以在上是单调减函数；

若， ，所以在上是单调增函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图象与轴交于两点，则有，则 ．

于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，所以，即，

由直角三角形斜边的中线性质，可知，

所以，即，

所以，

即．

因为，则，

又，所以，

即，则所以．