Question

【题目】f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1成立．当x＞0时，f（x）＞1．
（1）若f（4）=5，求f（2）；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，解得f（2）=3
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，

∵x＞0时，f（x）＞1．

∴f（x2﹣x1）＞1

∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞f（x1）

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）是R上的增函数

（3）解：∵由不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3，

得f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），

由（2）知，f（x）是R上的增函数，

∴3m2﹣m﹣2＜2，

∴3m2﹣m﹣4＜0，

∴﹣1＜m＜ ，

∴不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为（﹣1， ）

【解析】（1）f（4）=f（2）+f（2）﹣1，即可求出f（2）的值，（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R，判断出f（x1）与f（x2）的大小即可知道增减性．（3）f（3m2﹣m﹣2）＜3，得f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函数，得到3m2﹣m﹣2＜2，求出解集即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．