题目内容

5.如图,A,B是椭圆W:$\frac{x^2}{3}$+y2=1的两个顶点,过点A的直线与椭圆W交于另一点C.
(Ⅰ)当AC的斜率为$\frac{1}{3}$时,求线段AC的长;
(Ⅱ)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D.求直线AC的斜率.

分析 (Ⅰ)当AC的斜率为$\frac{1}{3}$时,可得直线AC的方程,代入椭圆方程,求出C的坐标,即可求线段AC的长;
(Ⅱ)设直线AC的方程为y=kx-1,k≠0,求出点C、D的坐标,利用D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,得到|OD|=1,即可求直线AC的斜率.

解答 解:(Ⅰ)由已知A(0,-1),
直线AC的方程为$y=\frac{1}{3}x-1$.…(1分)
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$得2x2-3x=0,…(2分)
解得$x=\frac{3}{2}$或x=0(舍),…(3分)
所以点C的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$,…(4分)
所以$|{AC}|=\sqrt{{{(\frac{3}{2})}^2}+{{(-\frac{1}{2}+1)}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$.…(5分)
(Ⅱ)依题意,设直线AC的方程为y=kx-1,k≠0.
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$得(3k2+1)x2-6kx=0,…(7分)
解得$x=\frac{6k}{{3{k^2}+1}}$或x=0(舍),…(8分)
所以点C的横坐标为$\frac{6k}{{3{k^2}+1}}$,
设点D的坐标为(x0,y0),则${x_0}=\frac{3k}{{3{k^2}+1}}$,…(9分)${y_0}=k{x_0}-1=\frac{-1}{{3{k^2}+1}}$,…(10分)
因为以AB为直径的圆恰过点D,所以|OD|=1,
即${(\frac{3k}{{3{k^2}+1}})^2}+{(\frac{-1}{{3{k^2}+1}})^2}=1$.…(11分)
整理得${k^2}=\frac{1}{3}$,…(12分)
所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.…(13分)

点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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