Question

若数列{a_n}满足a₁=1，且 an+1=

an

1+an

（1）证明：数列{

1

an

}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和记为S_n，且s_n=2-b_n，n∈N^*，求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）两边取倒数可得

1

an+1

=

1

an

+1，从而可知数列{

1

an

}为等差数列，且公差为1，可求得

1

an

，进而可得a_n；
（2）由b_n=S_n-S_n-1可得递推式，由此可判断数列{b_n}是等比数列，可求b_n，进而可求

bn

an

，利用错位相减法可求得T_n；

解答：（1）证明：由已知得

1

an+1

=

1

an

+1，
所以数列{

1

an

}为等差数列，且公差为1，
又a₁=1，所以

1

an

=1+（n-1）•1=n，
所以an=

1

n

；
（2）解：由s_n=2-b_n，得b₁=1，
b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1）=b_n-1-b_n，
所以2b_n=b_n-1（n≥2），
则数列{b_n}是公比为

1

2

，b₁=1的等比数列，
所以bn=(

1

2

)n-1，
则

bn

an

=n•(

1

2

)n，
Tn=1+2×(

1

2

)+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，②
①-②得，

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=2-

2+n

2n

，
所以Tn=4-

2+n

2n-1

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差数列等比数列的通项公式及错位相减法对数列求和，属中档题．