题目内容
【题目】已知函数.
(1)若存在极值,求实数a的取值范围;
(2)设,设是定义在上的函数.
(ⅰ)证明:在上为单调递增函数(是的导函数);
(ⅱ)讨论的零点个数.
【答案】(1).(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)答案见解析
【解析】
(1)求导得,按照、分类,求得、的解集即可得解;
(2)(ⅰ)令,对求导,按照、分类,证明恒大于0,即可得证;
(ⅱ)由的单调性结合,按照、分类,结合即可得解.
(1)求导得,
当时,,在R上单调递减,无极值;
当时,在单调递减,在上单调递增,
则在处有极小值.
综上,实数a的取值范围为;
(2)(ⅰ)证明:由题意,
∵令,
∴,
∵,
当时,,,,
则;
当时,令,则,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
从而有:,而,
则,则;
综上,对都有成立,
故在区间单调递增;
(ⅱ)由(ⅰ)知,在区间单调递增且,
①当时,,
当时,则在单调递减;
当时,则在单调递增,
则是的唯一极小值点,且,
从而可知:当时,在区间有唯一零点0;
②当时,有,
且,
故存在使,
此时在单调递减,在单调递增,
且
,
又,由零点存在定理知:
则在区间有唯一零点,记作,
从而可知:当时,在区间上有两个零点:0和;
综上:①当时,在区间有唯一零点0;
②当时,在区间有两个不同零点.
【题目】年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分分).根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在的居民有人.
满意度评分 | ||||
满意度等级 | 不满意 | 基本满意 | 满意 | 非常满意 |
(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数;
(2)定义满意度指数(满意程度的平均分)/100,若,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整?
(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在、)中用分层抽样的方法抽取名居民,倾听他们的意见,并从人中抽取人担任防疫工作的监督员,求这人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率.