题目内容
设f(x)是定义在实数R上的函数,g(x)是定义在正整数N*上的函数,同时满足下列条件:
(1)任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),当x<0时,f(x)>1且f(-1)=
;
(2)g(1)=f(0),g(2)=f(-2);
(3)f[g(n+2)]=
,n∈N*
试求:
(1)证明:任意x,y∈R,x≠y,都有
<0;
(2)是否存在正整数n,使得g(n)是25的倍数,若存在,求出所有自然数n;若不存在说明理由.(阶乘定义:n!=1×2×3×…×n)
(1)任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),当x<0时,f(x)>1且f(-1)=
5 |
(2)g(1)=f(0),g(2)=f(-2);
(3)f[g(n+2)]=
f[(n+3)g(n+1)] |
f[(n+2)g(n)] |
试求:
(1)证明:任意x,y∈R,x≠y,都有
f(x)-f(y) |
x-y |
(2)是否存在正整数n,使得g(n)是25的倍数,若存在,求出所有自然数n;若不存在说明理由.(阶乘定义:n!=1×2×3×…×n)
分析:(1)利用赋值法,当x=y=0时,f(0)=f(0)•f(0),得出f(0)=1;再利用条件当x>0时,f(x)=
<1,得对任意实数都有f(x)>0,再对x,y的大小关系进行分类讨论:若x<y,则f(x)=f(x-y)•f(y)>f(y),从而f(x)-f(y)>0;同理,若x>y,
<0得证;
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即存在正整数n,使得g(n)是25的倍数,再利用函数的单调性结合数列的质,求出g(n)的表达式,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
1 |
f(-x) |
f(x)-f(y) |
x-y |
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即存在正整数n,使得g(n)是25的倍数,再利用函数的单调性结合数列的质,求出g(n)的表达式,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)当x=y=0时,f(0)=f(0)•f(0),∴f(0)=0,f(0)=1
若f(0)=0,则得f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,不可能,舍去
∴f(0)=1
当x>0时,f(x)=
<1,得,0<f(x)<1
∴f(x)>0,x∈R
若x<y,则,x-y<0,f(x-y)>1,f(x)=f(x-y)•f(y)>f(y),
∴f(x)-f(y)>0,
<0
同理,若x>y,
<0∴任意x,y∈R,x≠y,都有
<0
(2)∵g(1)=f(0)=1,g(2)=f(-2)=f(-1)f(-1)=5
由(1)可得f(x)为单调减函数∵f[g(n+2)]=
=f[(n+3)g(n+1)-(n+2)g(n)]
∴g(n+2)=(n+3)g(n+1)-(n+2)g(n)
得∴g(n+2)-g(n+1)=(n+2)(g(n+1)-g(n)),n≥1
∴g(n)-g(n-1)=n(g(n-1)-g(n-2)),n≥3g(n-1)-g(n-2)=(n-1)(g(n-2)-g(n-3))
…g(3)-g(2)=3(g(2)-g(1))
相乘得:∴g(n)-g(n-1)=
[g(2)-g(1)],n≥3…①
又由①式得:g(n)-g(n-1)=
[g(2)-g(1)],n≥3g(n-1)-g(n-2)=
[g(2)-g(1)]
…g(3)-g(2)=
[g(2)-g(1)],g(2)-g(1)=
[g(2)-g(1)]
相加得:g(n)-g(1)=
[g(2)-g(1)](2!+3!+…+n!),n≥2,
g(n)=2(2!+3!+…+n!)+1,n≥2,
g(1)=1,g(2)=5,g(3)=17,g(4)=65,g(5)=305,
g(6)=1745,g(7)=11825,g(8)=92465,g(9)=818225,
由于当n≥10时,n!能被25整除
综上,存在正整数n,当n=7或n≥9,n∈N时,g(n)是25的倍数.
若f(0)=0,则得f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,不可能,舍去
∴f(0)=1
当x>0时,f(x)=
1 |
f(-x) |
∴f(x)>0,x∈R
若x<y,则,x-y<0,f(x-y)>1,f(x)=f(x-y)•f(y)>f(y),
∴f(x)-f(y)>0,
f(x)-f(y) |
x-y |
同理,若x>y,
f(x)-f(y) |
x-y |
f(x)-f(y) |
x-y |
(2)∵g(1)=f(0)=1,g(2)=f(-2)=f(-1)f(-1)=5
由(1)可得f(x)为单调减函数∵f[g(n+2)]=
f[(n+3)g(n+1)] |
f[(n+2)g(n)] |
∴g(n+2)=(n+3)g(n+1)-(n+2)g(n)
得∴g(n+2)-g(n+1)=(n+2)(g(n+1)-g(n)),n≥1
∴g(n)-g(n-1)=n(g(n-1)-g(n-2)),n≥3g(n-1)-g(n-2)=(n-1)(g(n-2)-g(n-3))
…g(3)-g(2)=3(g(2)-g(1))
相乘得:∴g(n)-g(n-1)=
n! |
2 |
又由①式得:g(n)-g(n-1)=
n! |
2 |
(n-1)! |
2 |
…g(3)-g(2)=
3! |
2 |
2! |
2 |
相加得:g(n)-g(1)=
1 |
2 |
g(n)=2(2!+3!+…+n!)+1,n≥2,
g(1)=1,g(2)=5,g(3)=17,g(4)=65,g(5)=305,
g(6)=1745,g(7)=11825,g(8)=92465,g(9)=818225,
由于当n≥10时,n!能被25整除
综上,存在正整数n,当n=7或n≥9,n∈N时,g(n)是25的倍数.
点评:本题是一个抽象函数题,其解答过程中用到了数列中的累加法累乘法,可归为数列与函数综合,解答过程中出现了阶乘,此符号题中有定义,考点中可不考虑.
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