题目内容
已知函数f(x)=log
x与函数g（x）的图象关于y=x对称，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，则
+
的最大值为
（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=g（x）-1，若关于x的方程f（x）-lo
=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是
| 1 |
| 2 |
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，则
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
-9
-9
（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=g（x）-1，若关于x的方程f（x）-lo
| g | (x+2) a |
(
，2)
| 3 | 4 |
(
，2)
．| 3 | 4 |
分析：（1）根据题意，由反函数的定义以及对数函数、指数函数的性质可得g（x）=（
）x=2-x，进而结合题意可得2-（a+b）=2，即a+b=-1，对
+
变形可得其等于-[5+
+
]，由基本不等式的性质可得
+
≥4，代入
+
=-[5+
+
]可得其最大值，即可得答案．
（2）根据题意，分析可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
（2）根据题意，分析可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
解答：解：（1）根据题意，g（x）=（
）x=2-x，
若g（a）g（b）=2，则有2-（a+b）=2，即a+b=-1，
则
+
=-[（-a）+（-b）][
+
]=-[5+
+
]，
又由a＜0，b＜0，则
＞0且
＞0，故
+
≥4，
则
+
=-[5+
+
]≤-9，
即
+
的最大值为-9；
（2）对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（
）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=-loga（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：
＜a＜2，
则a的取值范围是（
，2）
故答案为（1）：-9；（
，2）．
| 1 |
| 2 |
若g（a）g（b）=2，则有2-（a+b）=2，即a+b=-1，
则
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4 |
| -a |
| 1 |
| -b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
又由a＜0，b＜0，则
| 4b |
| a |
| a |
| b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
则
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
即
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
（2）对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（
| 1 |
| 2 |
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=-loga（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：
| 3 | 4 |
则a的取值范围是（
| 3 | 4 |
故答案为（1）：-9；（
| 3 | 4 |
点评：本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，（1）的关键是根据题意，求出g（x）的解析式，其次要注意题意中a＜0，b＜0的条件，要配凑基本不等式成立的条件．
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