Question

设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I_k表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I₀时，f（x）=x²．
（1）求f（x）在I_k上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有两个不等的实根}

Answer 1

分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²即为所求．
（2）转化为x²-（4k+a）+4k²=0在区间I_k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．

解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，
∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．
又∵当x∈I_k时，（x-2k）∈I₀，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
即对k∈Z，当x∈I_k时，f（x）=（x-2k）²．
（2）当k∈Z且x∈I_k时，
利用（1）的结论可得方程（x-2k）²=ax，整理得：x²-（4k+a）+4k²=0．
它的判别式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在区间I_k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足

a(a+8k)＞0 2k-1＜ 1 2 [4k+a- a(a+8k) ] 2k+1≥ 1 2 [4k+a+ a(a+8k) ]

化简得

a(a+8k)＞0，(1) a(a+8k) ＜2+a，(2) a(a+8k) ≤2-a，(3)

由（1）知a＞0，或a＜-8k．
当a＞0时：因2+a＞2-a，故从（2），（3）
可得

a(a+8k)

≤2-a，即

a(a+8k)≤(2-a)2 2-a＞0

当a＜-8k时：2+a＜2-8k＜0，
易知

a(a+8k)

＜2+a无解，
综上所述，a应满足0＜a≤

1

2k+1

故所求集合Mk={a|0＜a≤

1

2k+1

}

点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．