题目内容
4．在数列{an}中，a1+a2+…+an=2an-1，且数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=an（n∈N*），求数列{bn}的通项公式．分析 通过a1+a2+…+an-1=an-1与a1+a2+…+an=an+1-1作差可得an+1=2an，在原式中令n=1进而可知an=2n-1，同理可得bn=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
解答 解：∵a1+a2+…+an=2an-1，
∴a1+a2+…+an-1=an-1，
∴a1+a2+…+an=an+1-1，
两式相减得：an=an+1-1-（an-1）=an+1-an，
∴an+1=2an，
又∵a1=2a1-1，即a1=1，
∴an=2n-1，
∴b1+2b2+3b3+…+nbn=2n-1，
∴b1+2b2+3b3+…+（n+1）bn+1=2n，
两式相减得：（n+1）bn+1=2n-2n-1=2n-1，
∴bn+1=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$=$\frac{{2}^{（n+1）-2}}{n+1}$，
∴当n≥2时，bn=$\frac{{2}^{n-2}}{n}$=$\frac{{2}^{n}}{4n}$，
又∵b1=a1=1，
∴bn=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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14．设xi，ai（i=1，2，3）均为正实数，甲、乙两位同学由命题：“若x1+x2=1，则$\frac{{a}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{x}_{2}}$≤（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$）2”分别推理得出了新命题：
甲：“若x1+x2=1，则$\frac{{a}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$≤（a1+a2）2”；
乙：“若x1+x2+x3=1，则$\frac{{a}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{x}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{x}_{3}}$≤（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$）2”．
他们所用的推理方法是（ ）
甲：“若x1+x2=1，则$\frac{{a}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$≤（a1+a2）2”；
乙：“若x1+x2+x3=1，则$\frac{{a}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{x}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{x}_{3}}$≤（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$）2”．
他们所用的推理方法是（ ）
| A． | 甲、乙都用演绎推理 | B． | 甲、乙都用类比推理 | ||
| C． | 甲用演绎推理，乙用类比推理 | D． | 甲用归纳推理，乙用类比推理 |