题目内容

4.在数列{an}中,a1+a2+…+an=2an-1,且数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.

分析 通过a1+a2+…+an-1=an-1与a1+a2+…+an=an+1-1作差可得an+1=2an,在原式中令n=1进而可知an=2n-1,同理可得bn=$\left\{\begin{array}{l}{1,}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n},}&{n≥2}\end{array}\right.$.

解答 解:∵a1+a2+…+an=2an-1,
∴a1+a2+…+an-1=an-1,
∴a1+a2+…+an=an+1-1,
两式相减得:an=an+1-1-(an-1)=an+1-an
∴an+1=2an
又∵a1=2a1-1,即a1=1,
∴an=2n-1
∴b1+2b2+3b3+…+nbn=2n-1
∴b1+2b2+3b3+…+(n+1)bn+1=2n
两式相减得:(n+1)bn+1=2n-2n-1=2n-1
∴bn+1=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$=$\frac{{2}^{(n+1)-2}}{n+1}$,
∴当n≥2时,bn=$\frac{{2}^{n-2}}{n}$=$\frac{{2}^{n}}{4n}$,
又∵b1=a1=1,
∴bn=$\left\{\begin{array}{l}{1,}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n},}&{n≥2}\end{array}\right.$.

点评 本题考查求数列的通项,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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