题目内容

12.($\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$)5的展开式的第3项小于第4项,则x的取值范围是0<x<1.

分析 求出展开式的第3项、第4项,利用($\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$)5的展开式的第3项小于第4项,求出x的取值范围.

解答 解:($\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$)5展开式中,第3项${C}_{5}^{2}•(\sqrt{x})^{3}•(\frac{1}{\root{3}{x}})^{2}$=10${x}^{\frac{5}{6}}$,第4项${C}_{5}^{3}•(\sqrt{x})^{2}•(\frac{1}{\root{3}{x}})^{3}$=10,
因为($\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$)5的展开式的第3项小于第4项,
所以10${x}^{\frac{5}{6}}$<10,
解得x<1,
因为x>0,
所以x的取值范围是0<x<1.
故答案为:0<x<1.

点评 本题是基础题,考查二项式定理系数的性质,考查不等式的解法,考查计算能力.

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