题目内容
【题目】函数
(1)讨论函数的单凋性;
(2)若存在使得对任意的
不等式
(其中e为自然对数的底数)都成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求导,讨论参数的取值确定导函数的正负,进而判定函数的单调性;(Ⅱ)先借助(Ⅰ)的结论求出不等式左边的最小值,即将存在性问题转化为左边的最小值大于不等式右边,再作差构造函数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
试题解析:(I)
,记
(i)当时,因为
,所以
,函数
在
上单调递增;
(ii)当时,因为
,
所以,函数
在
上单调递增;
(iii)当时,由
,解得
,
所以函数在区间
上单调递减,
在区间上单调递增
(II)由(I)知当时,函数
在区间
上单调递增,
所以当时,函数
的最大值是
,对任意的
,
都存在,使得不等式
成立,
等价于对任意的,不等式
都成立,
即对任意的,不等式
都成立,
记,由
,
,
由得
或
,因为
,所以
,
①当时,
,且
时,
,
时,
,所以
,
所以时,
恒成立;
②当时,
,因为
,所以
,
此时单调递增,且
,
所以时,
成立;
③当时,
,
,
所以存在使得
,因此
不恒成立.
综上,的取值范围是
.
另解(II)由(Ⅰ)知,当时,函数
在区间
上单调递增,
所以时,函数
的最大值是
,
对任意的,都存在
,
使得不等式成立,
等价于对任意的,不等式
都成立,
即对任意的,不等式
都成立,
记,
由,且
∴对任意的,不等式
都成立的必要条件为
又,
由得
或
因为,所以
,
当时,
,且
时,
,
时,
,所以
,
所以时,
恒成立;
②当时,
,因为
,所以
,
此时单调递增,且
,
所以时,
成立.
综上,的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】电视传媒公司为了解某地区观众对某类休育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料判断是否有
的把握认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)将日均收看读体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
附.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |