题目内容
【题目】已知四棱柱
的底面是边长为
的菱形，且
，
平面
，
，
于点
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
和平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取
中点为
，求证四边形
为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（2）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过求解两平面法向量之间夹角的余弦值，从而求得二面角夹角的余弦值.
（1）证明：∵
，
，∴
是
中点，
取
中点，连
，
，如下图所示：
则在菱形
中，
，
//
∵
，//
，∴
，//
，
∴四边形
为平行四边形，∴
//
，
又
，
//
，∴四边形
为平行四边形，
∴
//，∴//，
又
平面
，
平面，
∴//平面.即证.
（2）以为原点，以
分别为
建立如图所示的空间的直角坐标系.
因为已知该四棱柱为直四棱柱，，
，
所以
为等边三角形.
因为，所以点是的中点.
故点
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
，
.
由
得
取
，得
，
，
故
.
∵
，
，
，
∴
，∴是平面的法向量，
设平面和平面所成锐角为
，
则
.
即平面和平面所成锐角的余弦值为.
练习册系列答案
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【题目】为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取
名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于
分者为“成绩优秀”）
分数 |
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甲班频数 |
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乙班频数 |
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（1）由以上统计数据填写下面的
列联表，并判断是否有
以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
（2）在上述样本中，学校从成绩为
的学生中随机抽取
人进行学习交流，求这人来自同一个班级的概率.
参考公式：
，其中
.
临界值表
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