题目内容
【题目】已知点,
,圆
是以
的中点为圆心,
为半径的圆.
(1)若圆的切线在
轴和
轴上截距相等,求切线方程;
(2)若是圆
外一点,从
向圆
引切线
,
为切点,
为坐标原点,
,求使
最小的点
的坐标.
【答案】(1),
,
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)设圆心坐标为,半径为
,依题意得
,
,
,所以圆
的方程为
.下面分两种情况讨论,第一种情况,若截距均为
,即圆
的切线过原点,则可设该切线为
,利用圆心到直线的距离等于半径,可求得
;第二种情况,若截距不为
,可设切线为
,同理利用圆心到直线的距离等于半径求得
或
.综上求得切线方程为
,
,
;(2)题意
,所以
,即
,整理得
.而
时,
取得最小值.此时点
的坐标为
.
试题解析:
(1)设圆心坐标为,半径为
,依题意得
,
,
∴圆的方程为
(ⅰ)若截距均为0,即圆的切线过原点,则可设该切线为
,即
,
则有,解得
此时切线方程为或
.
(ⅱ)若截距不为0,可设切线为即
,
依题意,解得
或3
此时切线方程为或
.
综上:所求切线方程为,
,
.
(2)∵,∴
即,整理得
而
时,
取得最小值.
此时点的坐标为
.
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