[题目]已知椭圆.为椭圆的左.右焦点.点在直线上且不在轴上.直线与椭圆的交点分别为和.为坐标原点.设直线的斜率为.证明:问直线上是否存在点.使得直线的斜率满足?若存在.求出所有满足条件的点的坐标,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线上且不在轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原点.

设直线的斜率为，证明：

问直线上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设出P的坐标，表示出斜率，化简可得结论；

（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，求出斜率，利用kOA+kOB+kOC+kOD＝0，即可得到结论．

因为椭圆方程为，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）

设P（x0，2﹣x0），则，，

所以

（2）记A、B、C、D坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．

设直线PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1

联立可得

，

代入，可得

同理，联立PF2和椭圆方程，可得

由及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得，或，

所以直线方程为或，

所以点P的坐标为（0，2）或

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年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

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，

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年级名次/是否近视	1-50	951-1000
近视	41	32
不近视	9	18

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

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