题目内容
【题目】对于无穷数列,
,若
,
,则称
是
的“收缩数列”.其中
,
分别表示
中的最大数和最小数.已知
为无穷数列,其前
项和为
,数列
是
的“收缩数列”.
(1)若,求
的前
项和;
(2)证明:的“收缩数列”仍是
;
(3)若且
,
,求所有满足该条件的
.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)
,
.
【解析】
(1)根据可得
为递增数列,从而可得
,利用等差数列求和公式可得结果;(2)可证得
,即
,则可知
,可证得结论;(3)令
猜想可得
,
,整理可知此数列满足题意;利用反证法可证得不存在数列不满足
,
的
符合题设条件,从而可得结论.
(1)由可得
为递增数列
由通项公式可知为等差数列
的前
项和为:
(2)
,又
的“收缩数列”仍是
(3)由可得:
当时,
;
当时,
,即
,所以
;
当时,
,即
(*),
若,则
,所以由(*)可得
,与
矛盾;
若,则
,所以由(*)可得
所以与
同号,这与
矛盾;
若,则
,由(*)可得
.
猜想:满足的数列
是:
,
经验证,左式
右式
下面证明其它数列都不满足(3)的题设条件
由上述时的情况可知,
时,
,
是成立的
假设是首次不符合
,
的项,则
由题设条件可得(*)
若,则由(*)式化简可得
与
矛盾;
若,则
,所以由(*)可得
所以与
同号,这与
矛盾;
所以,则
,所以由(*)化简可得
.
这与假设矛盾.
所以不存在数列不满足,
的
符合题设条件
综上所述:,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司生产某种产品,一条流水线年产量为件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:
第一段生产的半成品质量指标 |
|
| |
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了件,得到频率分布直方图如图:
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
(Ⅰ)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;
(Ⅱ)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;
(Ⅲ)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是万元,使用寿命是
年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
,且不影响产量.请你帮该公司作出决策,是否要购买该设备?说明理由.
(参考数据:,
,
)