题目内容

2．已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d≠0，a3+b3=c3+d3，求证：（a-c）（a-d）=0．

分析 由题意可得a2-ab+b2=c2-cd+d2，从而可得ab=cd，（a-b）2=（c-d）2，从而证明可得．

解答 证明：∵a3+b3=c3+d3，
∴（a+b）（a2-ab+b2）=（c+d）（c2-cd+d2），
又∵a+b=c+d≠0，
∴a2-ab+b2=c2-cd+d2，
∴（a+b）2-3ab=（c+d）2-3cd；
∴ab=cd，
又∵（a-b）2+ab=（c-d）2+cd，
∴（a-b）2=（c-d）2，
∴a-b=c-d或a-b=d-c；
若a-b=c-d，与a+b=c+d联立可得，
a=c；
若a-b=d-c，与a+b=c+d联立可得，
a=d；
故（a-c）（a-d）=0．

点评 本题考查了立方和公式的应用及完全平方公式的化简与运用．

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