题目内容
设(
是自然对数的底数,
),且
.
(1)求实数的值,并求函数
的单调区间;
(2)设,对任意
,恒有
成立.求实数
的取值范围;
(3)若正实数满足
,
,试证明:
;并进一步判断:当正实数
满足
,且
是互不相等的实数时,不等式
是否仍然成立.
(1)参考解析;(2);(3)成立,参考解析
解析试题分析:(1)由(
是自然对数的底数,
),且
,即可求出
.再根据导函数的值即可求出单调区间.
(2)对任意,恒有
成立,通过去分母,整理成两个函数的单调性的问题即
,则
在
上单调递增,又
,再通过求导即可得到m的取值范围.
(3)若正实数满足
,
,则
.通过代入函数关系式消元再用基本不等式即可得到结论.当
,且
是互不相等的实数时,不等式
是否仍然成立.有数学归纳法证明,当n=k+1时利用
转化为k项的形式.再通过构造即可得到结论.
(1)∵,
,故
. 1分
令得
;令
得
. 3分
所以的单调递增区间为
;单调递减区间为
. 4分
(2)由变形得:
. 5分
令函数,则
在
上单调递增. 6分
即
在
上恒成立. 7分
而(当且仅当
时取“=”)
所以. 9分
(3)证明:不妨设,由
得:
其中,故上式的符号由因式“
”的符号确定.
令,则函数
.
,其中
,得
,故
.即
在
上单调递减,且
.所以
.
从而有成立.
该不等式能更进一步推广:
已知,
是互不相等的实数,若正实数
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