题目内容
【题目】已知函数(e为自然对数的底数),其中
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的两个极值点为
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)先求出,再对
分类讨论即得函数的单调性;
(2)求出,
,转化成证明
成立,设
,
,则
,转化成证明
成立,设
,则
,构造函数
,
,证明
,即
成立,原题得证.
解:(1)的定义域
,
,
,
方程,判别式
,
当时,
,
恒成立,
所以恒成立,函数
在
和
上单调递增.
当时,
,令
,得
,
,
因为,所以
.
所以当或
或
时,
,
当时,
,
所以在
和
和
是增函数,在
是减函数.
综上所述:当时,函数
在
和
上单调递增;>
当时,函数
在
和
和
单调递增,在
单调递减.
(2)由(1)可知,当时函数
存在两个极值点
,且
是方程
的两根,所以
,且
.
,
,
所以,
,
所以,
又,
所以,要证成立,
即证成立,
因为且,所以
即证成立,
设,
,则
,
只要证成立,
即证成立.
设,则
,构造函数
,
则,所以
在
上单调递增,
,即
成立,
从而成立.

【题目】年,某省将实施新高考,
年秋季入学的高一学生是新高考首批考生,新高考不再分文理科,采用
模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各
分,另外,考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物
门科目中自选
门参加考试(
选
),每科目满分
分.为了应对新高考,某高中从高一年级
名学生(其中男生
人,女生
人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查.
(1)已知抽取的n名学生中含女生人,求n的值及抽取到的男生人数;
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下面表格是根据调查结果得到的
列联表,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
选择“物理” | 选择“历史” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
(3)在抽取到的名女生中,在(2)的条件下,按选择的科目进行分层抽样,抽出
名女生,了解女生对“历史”的选课意向情况,在这
名女生中再抽取
人,求这
人中选择“历史”的人数为
人的概率.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)