题目内容
【题目】若定义在
上的偶函数
满足
，且在区间
上是减函数，
，
现有下列结论，其中正确的是：（ ）
①的图象关于直线
对称；②的图象关于点
对称；③在区间
上是减函数；④在区间
内有8个零点.
A.①③B.②④C.①③④D.②③④
【答案】C
【解析】
根据题意可得
，再由函数为偶函数可得
，从而可判断①；无法推出
，可判断②；利用周期为2可判断③；利用对称性可判断④.
由
，得，
结合
为偶函数，得，
则曲线
关于直线
对称，则①正确；
无法推出，则②不一定正确；
由曲线
可得曲线
，
即得曲线
，恰好是在一个周期内的图象；
再根据是以2为周期的函数，得到曲线
，
因为在在
上是减函数，在
上是减函数，则③正确；
因为在上是减函数，
，
，
所以在上有唯一的一个零点，
根据对称性，在区间
内有8个零点.
故选：C.
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