题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，其中点
在以
为直径的圆上，
，
，
，平面
平面.
（1）证明：
平面.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，
，根据直径所对圆周角是直角，得到
，计算出
的长，通过勾股定理证得
，再根据面面垂直的性质定理得到
平面
.（2）
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系通过计算平面
和平面
的法向量，计算二面角
的余弦值，进而求得其正弦值.
（1）证明：连接，，因为点在以
为直径的圆上，所以.
因为
，所以
，
.
所以
.
因为为等腰梯形，
，
所以
.
又因为
，
，
所以
，从而得.
又因为平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）解：由（1）易知
，
，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
.
因为
，所以
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，得
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，所以
，
故二面角的正弦值为.
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、
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的为优质品．现从该厂生产的、两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；
，
，
，
，
，
，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）设500件型产品性能质量评分的中位数为
，直接写出所在的分组区间；
（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；
|
| 总计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
总计 | 500 | 500 | 1000 |
（3）根据（2）中的列联表，能否有
的把握认为、两种不同型号的节排器性能质量有差异？
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
