题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,圆
外的点
在
轴的右侧运动,且
到圆
上的点的最小距离等于它到
轴的距离,记
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)过点的直线交
于
,
两点,以
为直径的圆
与平行于
轴的直线相切于点
,线段
交
于点
,证明:
的面积是
的面积的四倍.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
法一:(1)设P(x,y),x>0,F(1,0).由点P在⊙F外,可得点P到⊙F上的点的最小距离为|PF|﹣1,由题意可得:|PF|﹣1=x,利用两点之间的距离公式即可得出.
(2)设N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).则D(,
).由题意可设直线AB的方程为:y=k(x﹣1)(k≠0).与抛物线方程联立化为:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0.利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D,M,N的坐标.再利用三角形面积计算公式即可得出.
法二:(1)由题意得,点到圆
的距离
等于
到直线
的距离,根据抛物线的定义求得轨迹方程. (2)设
,
,由题意可设直线AB的方程为:
与抛物线方程联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D的坐标,结合
,可得
,进而求出N的坐标,利用点的位置关系得到面积的关系.
法三:(1)与法一同;(2)设,
,由题意可设直线AB的方程为:
与抛物线方程联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D,M的坐标,利用斜率公式计算得到
,再利用长度关系得到面积的关系.
解法一:(1)设,依题意
,
.
因为在圆
外,所以
到圆
上的点的最小距离为
依题意得,即
,
化简得的方程为
.
(2)设,
,
,则
.
依题意可设直线的方程
,
由得
.
因为,
所以,
则有,故
,
由抛物线的定义知.
设,依题意得
,所以
.
又因为,所以
,
解得,所以
.,
因为在抛物线上,所以
,即
,
所以,
,
故
解法二:(1)设,依题意
.
因为在圆
外,所以
到圆
上的点的最小距离为
.
依题意得,点到圆
的距离
等于
到直线
的距离,
所以在以
为焦点,
为准线的抛物线上.
所以的方程为
..
(2)设,
,
因为直线过
,依题意可设其方程
由得
,
因为,所以
,
则有.
因为是
的中点,所以
.
由抛物线的定义得.,
设圆与
相切于
,
因为与抛物线相交于
,所以
,且
,
所以,即
,解得
,
设,则
,且
,所以
,
因为,所以
为
的中点,所以
,
又因为为
的中点,
,所以
.
解法三:(1)同解法一.
(2)设,
,连结
,
.
因为直线过
,依题意可设其方程
由得
.,
因为,所以
,
所以.
因为,
,又因为
,
所以,解得
,所以
,
所以,故
.
又因为,所以
,从而
.
所以,
又,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为降低汽车尾气排放量,某工厂设计制造了、
两种不同型号的节排器,规定性能质量评分在
的为优质品.现从该厂生产的
、
两种型号的节排器中,分别随机抽取500件产品进行性能质量评分,并将评分分别分成以下六个组;
,
,
,
,
,
,绘制成如图所示的频率分布直方图:
(1)设500件型产品性能质量评分的中位数为
,直接写出
所在的分组区间;
(2)请完成下面的列联表(单位:件)(把有关结果直接填入下面的表格中);
|
| 总计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
总计 | 500 | 500 | 1000 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有的把握认为
、
两种不同型号的节排器性能质量有差异?
附:,其中
.
0.10 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)分布直方图如下,已知分数在100~110的学生数有21人。
(Ⅰ)求总人数N和分数在110~115分的人数n;
(Ⅱ)现准备从分数在110~115分的n名学生(女生占)中任选2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩x(满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩。
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理成绩大约是多少?
附:对于一组数据其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.