某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是:[50.60).[60.70).[70.80).[80.90).[90.100]．(Ⅰ)求图中a的值.并根据频率分布直方图.估计这100名学生数学成绩的平均分,(Ⅱ)若用分层抽样的方法从成绩在[70.90)的学生中共抽取5人.则应从成绩在[70.80)和[80.90)的学生中分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均分；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法从成绩在[70，90）的学生中共抽取5人，则应从成绩在[70，80）和[80，90）的学生中分别抽取几人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）已抽取的5人中，再随机抽取2人，求成绩在[70，80）和[80，90）的学生中各有一人的频率．

分析（Ⅰ）利用频率分布直方图中小矩形的面积和为1，求得a值；
（Ⅱ）利用分层抽样，即可求出应从成绩在[70，80）和[80，90）的学生中分别抽取的人数；
（Ⅲ）设成绩在[70，80）中的学生为a₁，a₂，a₃，成绩在[80，90）中的学生为b₁，b₂，一一列举出所有的基本事件，再找到成绩在[70，80）和[80，90）的学生中各有一人的基本事件，利用古典概型概率公式计算．

解答解：（Ⅰ）依题意得10×（2×0.005+0.02+a+0.04）=1，解得a=0.03…（2分）
∴这100名学生的数学平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，成绩在[70，80）和[80，90）中的学生人数比为3：2，
∴用分层抽样方法抽取成绩在[70，80）和[80，90）中的学生人数分别为3人和2人．…（6分）
（Ⅲ）设成绩在[70，80）中的学生为a₁，a₂，a₃，成绩在[80，90）中的学生为b₁，b₂，
则从5人中选取2人的所有结果为：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（b₁，b₂），
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），共10个结果，…（10分）
而成绩在[70，80）和[80，90）中各有一人的结果有：
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），共6个结果，
∴成绩在[70，80）和[80，90）的学生中各有一人的概率为P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）