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【题目】抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0 , y0)(x0≠0)作斜率为k1 , k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1 , y1)B(x2 , y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠﹣1).
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足 ,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,﹣1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0, ),准线方程为y=﹣
(Ⅱ)证明:设直线PA的方程为y﹣y0=k1(x﹣x0),直线PB的方程为y﹣y0=k2(x﹣x0).
点P(x0 , y0)和点A(x1 , y1)的坐标是方程组 的解.
将②式代入①式得ax2﹣k1x+k1x0﹣y0=0,于是x1+x0= ,故x1= ﹣x0 ③.
又点P(x0 , y0)和点B(x2 , y2)的坐标是方程组 的解.
将⑤式代入④式得ax2﹣k2x+k2x0﹣y0=0.于是x2+x0= ,故x2= ﹣x0
由已知得,k2=﹣λk1 , 则x2=﹣ ﹣x0 . ⑥
设点M的坐标为(xM , yM),由 ,可得 xM=
将③式和⑥式代入上式得xM= =﹣x0
即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上.
(Ⅲ)因为点P(1,﹣1)在抛物线y=ax2上,所以a=﹣1,抛物线方程为y=﹣x2
由③式知x1=﹣k1﹣1,代入y=﹣x2 得 y1=﹣(k1+1)2
将λ=1代入⑥式得 x2=k1﹣1,代入y=﹣x2 y2=﹣(k2+1)2
因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(﹣k1﹣1,﹣k12﹣2k1﹣1),B(k1﹣1,﹣k12+2k1﹣1).
于是 =(k1+2,k12+2k1), =(2k1 , 4k1),
=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2(k1+2)(2+k11).
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有 <0./span>
求得k1的取值范围是k1<﹣2,或﹣ <k1<0.
又点A的纵坐标y1满足y1=﹣(k1+1)2 , 故当k1<﹣2时,y1<﹣1;当﹣ <k1<0时,﹣1<y<﹣
即y1∈(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,﹣ ).
【解析】(Ⅰ)数形结合,依据抛物线C的标准方程写焦点坐标和准线方程.(Ⅱ)先依据条件求出点M的横坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,证明xM+x0=0.(Ⅲ)∠PAB为钝角时,必有 <0.用k1表示y1 , 通过k1的范围来求y1的范围.

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