题目内容
【题目】已知是自然数1,2,…,
的一个排列,且满足:对任意
,均有
.
(1)若记为数
在排列中所处位置的序号(如排列
中,
,
,
,
).求证:对每一个满足题意的排列
,均有
成立.
(2)试求满足题意的排列的个数.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)证法一:假设结论不成立,则必存在,
,使
.
不妨设,
,
.
首先证明:对任意整数,有
.
若不然,设中有小于
的,设
为使
的最小
值,
则由的最小性知
,
.
故由.得
.
∴.
又因,故
.
∴.矛盾.
故对任意,
.
∵是各不相同的自然数,
∴
∴
另一方面,,
∴.
于是,,即
,
∴.
这与前面矛盾.故结论成立.
证法二:用数学归纳法证明更强的命题:
对任意,
.
、2时,易知命题成立.
设时,命题也成立.
则时,考虑所有
的排列,我们从两方面求和
.
一方面,,
∴.
另一方面,,
∴.
故,且
.
因而,,
,…,
,
即当时,
,
,
.
而后个数的排列,为满足要求的连续
个数的排列,
由归纳假设知,时,也有
.
又易知.这样的排列仅有一个,即
,同样也有
.
故由数学归纳法知命题成立.
(2)显然,
.假设
,…,
均已求出,我们来求
.
考虑当时排列的个数
.
由(1)证法二知,此时排列的前个数是惟一确定的,
而后个连续自然数的满足题意的排列方法数为
.
又对后数的任一满足题意的排列,均有
,
故.
又,故
.
而,
∴.
故满足题意的排列个数.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(2017·全国卷Ⅲ文,18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【题目】王府井百货分店今年春节期间,消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计, 表示第
天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
经过进一步统计分析,发现与
具有线性相关关系.
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)判断变量与
之间是正相关还是负相关;
(3)若该活动只持续10天,估计共有多少名顾客参加抽奖.
参与公式: ,
,
.